1, 2차 산업혁명에 기여한 '미적분학'

전자공학에서 대학 2, 3 학년때 배우는 가장 기초적인 과목이 전자기학, 전기회로, 전자공학이다. 그리고 반도체 물성이론도 같이 배운다. 이 과목들에서 반도체로 이루어진 프로세서, 센서, 메모리, 무선통신 반도체 회로를 설계하고 제작하는데 필요한 기본 이론을 얻는다. 그래서 2, 3 학년 과목들이 제일 중요하다.

김정호 교수

이러한 과목에 사용되는 가장 중요한 수학적 방법론이 미적분학이다. 단순히 미분, 적분 문제 해법을 넘어서 미분으로 이루어진 미분방정식, 적분으로 이루어진 적분 방정식을 푸는 연습을 하게 된다. 특히 전자기학에서는 경계 조건과 구조의 대칭을 이용한 벡터의 미분방정식을 많이 풀게 된다.

이러한 이론은 5G 무선통신용 전송선, 안테나 설계에 활용된다. 전기 및 전자 회로 문제에서는 시간의 변화에 대한 미분 방정식을 많이 푼다. 전자 소자의 특성이 전압 또는 전류의 미분으로 표현되기 때문이다. 회로 미분 방정식은 초기 시작점의 전류 전압 조건을 이용해서 미분 방정식 문제를 푸는데, 경우에 따라 주파수 영역으로 이동해서 대수적으로 문제를 풀기도 한다.

이처럼 기존의 공학에 필요한 수학은 미적분이 많이 활용되었다. 미적분학이 자연과 공학 문제에 대한 모델 수립, 수학적 해법을 제공하면서 동시에 공학 문제에 대한 통찰력과 이해력을 키워준다. 하지만 요즘 실제 공학 문제가 이렇게 단순한 선형 미분방정식으로 표현되는 경우는 이제 거의 없다.

예를 들어 반도체 내부만 하더라도 수억 또는 수조 개의 트랜지스터가 있게 되는데, 인간이 미분 방정식으로 동시에 모두 풀기 불가능하다. 그래서 대부분 요즈음은 컴퓨터로 미분방정식을 풀고 있다. 그래서 MATLAB으로 알려진 수학 전용 소프트웨어를 잘 사용해야 한다. 이제는 미적분의 개념만 잘 알면 된다.

전자파 해석, 안테나 설계에 사용되는 Maxwell Equation들. 미적분 방정식으로 표현되어 있다. [출처: Researchgate]

인공지능 알고리즘에 꼭 필요한 '이산수학'

요즈음 4차 산업혁명에 필요한 빅데이터는 모두 ‘0’ 과 ‘1’ 의 2진수로 표현되는 디지털 신호로 표시된다. 특히 인공지능을 위한 알고리즘 계산도 컴퓨터 내에서 디지털 신호 계산으로 이루어 진다. 신경세포(Perceptron)에서의 덧셈, 곱셈 작업도 모두 디지털 계산으로 구현된다. 데이터도, 계산도, 저장도 모두 디지털 반도체에서 이루어지고 있다. 이처럼 데이터가 디지털인 이유는 반도체 메모리 저장 장치 자체가 디지털 소자이기 때문이다. 또한 데이터 전송을 위한 광통신 네트워크, 무선 통신도 모두 디지털 신호 전송으로 수행된다. 따라서 4차 산업혁명의 토대는 ‘0’과 ‘1’로 표현되는 2진수 수학에 있다고 본다. 그 수학을 ‘이산수학(Discrete Mathematics)’라고 부른다.

기존의 미적분학은 연속되는 함수의 기울기를 구하거나 면적을 구한다. 그런데 디지털 신호는 ‘0’ 과 ‘1’은 급격하게 불연속적으로 신호가 변화한다. 그 변화 시점에서 함수 값이 불연속적이다. 그러니 그 불연속 시점에서 함수를 미분하면 무한대가 된다. 따라서 디지털 신호 처리와 인공지능 알고리즘의 구현과 해석은 기존의 미적분으로 해결할 수가 없다. 그래서 디지털 신호의 해석에 가장 필요한 수학이 ‘이산수학(Discrete Mathematics)’가 되고 있다. 이산수학은 ‘2 진수 수학’ 혹은 ‘디지털 수학’이라고 부를 수도 있다.

이산수학에서는 디지털 세계의 기본적인 개념, 원리, 법칙을 활용하여 실생활에서 일어나는 디지털 상황의 문제를 수학적으로 정의 할 수 있는 능력을 배양한다. 그리고 이를 바탕으로 논리적으로 사고하고 합리적으로 문제를 해결하는 능력과 태도를 기를 수 있다. 특히 디지털 이산적 개념을 적용하는 디지털 컴퓨터 사용이 지속적으로 증가함에 따라 요구되는 컴퓨터공학, 정보통신, 소프트웨어 등의 정보기술(IT) 분야에서 이산수학을 바탕으로 시스템을 설계하거나 컴퓨터를 이용해 문제를 해결하는 방법을 학습 할 수 있다.

추가적으로 이산수학과 관련된 지식은 인공지능 알고리즘과 학습 방법을 개발하고, 인공지능 머신러닝의 구조를 설계하는데 학문적 기반이 된다. 예를 들어 디지털 행렬 계산과 논리회로도 이산수학에 포함된다. 결국 이산수학은 인공지능의 수학적 토대가 된다.

이산 수학을 이용한 논리 계산을 위한 기본 수식들, [출처: KAIST]

연속 함수 수학과 이산 수학의 비교, [출처: 네이버 블로그]

수학도 바뀐다 

여기에 더해 이산수학이 컴퓨터 소프트웨어 제작에 필요한 논리적 사고력을 함양하는 데 큰 도움이 된다. 컴퓨터 프소프트웨어의 가장 기본적인 구조인 제어문, 반복문, 서브루틴의 개념에는 순차적인 논리 사고가 필요하며, 이산수학으로 단련되어 논리적 사고를 할 수 있는 프로그래머가 더 높은 생산성과 훌륭한 성과물을 보인다. 마지막으로 컴퓨터 프로그램 제작을 위한 추상화와 알고리즘에 이산수학의 이론들이 실제로 사용된다.

이산수학은 디지털 정보이론, 그래프이론, 알고리즘과 같은 이산적인 분야를 다룬다. 이처럼 이산 수학은 컴퓨터 과학의 기초이론으로서 가장 중요한 위치를 차지하고 있다. 더 나아가 이산수학의 개념은 4차 산업혁명의 빅데이터, 인공지능에 필요한 수학적 근간이 된다고 말할 수 있다.

특히 인공지능 연구에 필요한 기초 수학이 디지털 미적분, 행렬, 확률과 통계이다. 더 나아가 전문가가 되기 위해서는 디지털 게임이론, 정보이론 등도 필요하다. 여기에 꼭 기초가 되는 수학이 이산수학이다. 그래서 앞으로 이산수학이 전공을 불문하고 대학 1,2 학년 때 꼭 필수적으로 수강해야 하는 과목으로 생각한다. 1,2,3 차 산업에 필요한 수학이 있었고, 이제 4차 산업혁명에 더욱 중요한 수학이 새로이 등장하고 있다. 이산수학이 그 중의 기초이다.

이산수학에 기초한 디지털 세계에서의 문제 추상화, 모델링, 계산 과정, [출처=KAIST]

joungho@kaist.ac.kr 

[김정호 카이스트 전기 및 전자공학과 교수]